Hallo Bia!
Es ist auch dann eine Elternteilzeit, wenn nach der Karenz zunächst zwar Vollzeit gearbeitet aber auf Grund des Kindes dann auf Teilzeit umgestellt wird (dreimonatige „Vorankündigungsfrist“ beachten).
Hätte man nach dem Gesetz schriftlich machen müssen, aber es gibt bereits eine Entscheidung, dass auch bei „mündlicher“ Vereinbarung Elternteilzeit besteht.
LG